Page 24 - MATeMAtyka 1. Podręcznik

Równanie, które nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą, nazywamy
równaniem sprzecznym. Podobnie taką nierówność nazywamy nierównością
sprzeczną.

Przykład 3
2
a) Rozwiąż równanie (x +3) =6x.
2
x +6x +9 = 6x Kwadrat liczby rzeczywistej
2
x = −9 niemożebyć liczbąujemną.
Zatem równanie jest sprzeczne – nie jest spełnione przez żadną liczbę x ∈ R.
2
b) Rozwiąż nierówność (2x − 1) < 4x(x − 1).
2
2
4x − 4x +1 < 4x − 4x
1 < 0
Zatem nierówność jest sprzeczna – nie jest spełniona przez żadną liczbę x ∈ R.

Równanie lub nierówność spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą nazywamy
równaniem tożsamościowym (krótko: tożsamością)lub nierównością tożsamo-
ściową.

Przykład 4
2
2
a) Rozwiąż równanie (x +3) − (x − 3) =12x.
2
2
(x +3) − (x − 3) =12x
2
2
x +6x +9 − (x − 6x +9) = 12x
12x =12x
Zatem równanie jest tożsamościowe – jest spełnione przez każdą liczbę x ∈ R.
b) Rozwiąż nierówność (x − 2)(x +2) + 5 > 0.
(x − 2)(x +2) + 5 > 0
2
x − 4+5 > 0 Kwadrat liczby rzeczywistej
zawsze jest większy od liczby
2
x > −1 ujemnej.
Zatem nierówność jest tożsamościowa – spełniona dla każdego x ∈ R.
Ćwiczenie 5
Sprawdź, czy równanie jest tożsamościowe lub sprzeczne.
2
2
2
2
a) (6 − x) − (2 − x) = −8x b) (x − 4) +4x =(x − 2) +12
Ćwiczenie 6
Sprawdź, czy nierówność jest tożsamościowa lub sprzeczna.
2
2
a) (x +1) − 2 (x − 1)(1 + x)+ 2x b) 6x − (3x − 1) (2x +3) 2

88 2. Język matematyki